犯罪嫌疑人因涉嫌犯罪被刑事拘留的，在侦查阶段的取保候审由【侦查机关】决定，而侦查机关主要是由以下7个机关构成：
（1）公安机关；
（2）国家安全机关；
（3）人民检察院；
（4）军队保卫部门；
（5）中国海警局；
（6）监狱侦查部门；
（7）海关走私犯罪侦查机关构成。
但是在普通的刑事案件中，绝大多数案件是由公安机关和检察院这两个侦查机关负责侦办。所以，公安机关和检察院直接决定了是否批准对犯罪嫌疑人采取取保候审措施。而这其中，由于公安机关在侦查阶段结束后，需要向检察院提交审查起诉的申请，所以检察院无论是否批准逮捕，都会审查案件材料，因此大量的取保候审是由检察院进行批准。
因此，当犯罪嫌疑人刑事拘留后，可以向负责侦办案件的公安局+同级同辖区的检察院申请保候审。
《中华人民共和国刑事诉讼法》中关于「取保候审」的具体规定：
第六十六条 人民法院、人民检察院和公安机关根据案件情况，对犯罪嫌疑人、被告人可以拘传、取保候审或者监视居住。
第六十七条 人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。
第六十八条 人民法院、人民检察院和公安机关决定对犯罪嫌疑人、被告人取保候审，应当责令犯罪嫌疑人、被告人提出保证人或者交纳保证金。
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